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如何求解波动方程
波动方程或称波方程（英语：Wave equation） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。中文名波动方程外文名Wave equation所属学科物理应用学科声学、电磁学、流体力学、电信快速导航方程形式 方程的解 要点分析 物理意义波动方程介绍历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d’Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。方程形式对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：波动方程这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。如，一维波动方程：二维波动方程：三维波动方程：方程的解对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： , 其中 和为任意两个可微分的单变量函数，分别对应于右传播波，和左传播波。的取法与 无必然关系。要决定 和 必须考虑两个初始条件：这样达朗贝尔公式变成了：在经典的意义下，如果 并且 ，则 .一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。要点分析如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得上述式子称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的“▽”称为哈密顿算符。在直角坐标系中在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为称为波动方程或达朗贝尔方程。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。
什么是函数
函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
扩展资料
表示
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示 。
概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值 。
映射定义
设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系 ，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射（Mapping），记作 。其中，b称为a在映射f下的象，记作： ; a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f（A）。
则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“《”或“》”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围 。
集合论
如果X到Y的二元关系 ，对于每个 ，都有唯一的 ，使得 ，则称f为X到Y的函数，记做：
参考资料函数（数学函数）_百度百科
亥姆霍兹方程，波动方程，达朗贝尔方程有什么区别
如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为称为波动方程或达朗贝尔方程。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。标量波动方程 应用直角坐标系可以把③写成即把矢量波动方程分解成三个标量波动方程，每个方程中只含一个知函数。但只有在应用直角坐标系时才能得到这样的结果，在其它坐标系中，通过分解而得的三个标量方程都具有复杂的形式。亥姆霍兹方程 在场源按正弦规律随时间变化的条件下，场量也是同频率的正弦函数，可以用相量表示。由相量形式的麦克斯韦方程组出发，可以推导出相量形式的波动方程：式中：式⑧与⑨又称亥霍兹方程。
拉普拉斯算符怎么用
拉普拉斯算子中文名称：拉普拉斯算子英文名称：Laplacian 定义：对于标量场函数f，为该标量场梯度的散度的一个标量，即对于矢量场函数，f为该矢量场散度的梯度减去该矢量场旋度的旋度的一个矢量，即所属学科：电力（一级学科）；通论（二级学科） 定义 拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为： (1) f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数： (2) 作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : C(R) → C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ : C(Ω) → C(Ω)，对于任何开集Ω。 函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹： 坐标表示式二维空间 其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为： 三维空间 笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法 N 维空间 在参数方程为（其中以及）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为： 其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。 恒等式 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为： f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此： 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数： 因此： 推广 拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。 在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子： 达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。 拉普拉斯-贝尔特拉米算子 主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。 另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。
最快的东西是快子么
众所周知没有什么能够比光速运行得更快，至多不过无质量的粒子以 光速运行。但是这真的绝对正确吗？1962年，Bilaniuk，Deshpande 和Sudarshan在《美国物理杂志》上说“不”（Bilaniuk, Deshpande, and Sudarshan, Am. J. Phys. 30, 718 (1962)）。他们后来又在《今日 物理》上发表了比较易读的论文（Bilaniuk and Sudarshan, Phys. Today 22, 43 (1969)）。这里给出一个简单的概述。 以动量(p)为x轴，能量(E)为y轴画一幅图。然后画出“光锥”，方程 E = +/- p表示的两条直线。这样就把1＋1维的空间－时间划分为两个 区域。上部和下部是“类时”区，左部和右部是“类空”区。 E^2 - p^2 = m^2是相对论中的基本事实（讨论中取光速c=1）。对于 m（质量）的任何非零值，这是一条在类时区域中的双曲线，它通过粒子 处于静止的点(p,E) = (0,m)。任何具有质量m的粒子都被约束在双曲线的 上支上运动。（否则它将“离壳”，是与虚粒子关联的情况，那是另一个 问题。）对于无质量的粒子，E^2 = p^2，将在光锥上运动。 对“慢速粒子”和“光速粒子”，这两种事物被称作tardyon（现在 更常用bradyon）和luxon。对假想的会以v》c运动的“快速粒子”，命名 为tachyon。（快子是由Gerald Feinberg发表在《物理评论》上的探索性 论文《快于光的粒子之可能性》"On the possibility of faster-than- light particles" 而首次被 引入物理学的。） 另一个熟知的相对论方程是E = m*^(-1/2)。快子（如果 它存在的话）的运动速度v 》 c，这意味着能量E为虚数！我们又如何处理 静止质量m呢，也将它取为虚数吗？那么E^2 - p^2 = m^2 《 0，能量E为 负实数。或者取p^2 - E^2 = M^2，式中质量M为实数。这是在类空区域中 的双曲线，快子的能量和动量必须满足这一关系。 由此你可以推导出快子的许多有趣特性。比如快子如果失去能量（E 减小）就会加速（p增大）。而且零能量的快子会无穷快。这会有一些很 深远的推论。比如对于带电的快子，既然它们在真空中运动得比光速快， 就将产生切伦科夫辐射，这会损失能量，使它们运动得更快！换句话说， 带电的快子很可能导致一个逃逸反应，释放出巨大的能量。这暗示着提出 一个除自由（无相互作用）快子之外包含一切的理论是相当困难的。一个 富于启发性的问题是，可以自发产生快子－反快子对，并导致逃逸反应， 使真空不再稳定。精确处理这个问题需要复杂的量子场论，这里难以简单 叙述，不过有一个合适的近期参考文献《快子、磁单极子以及相关问题》 Tachyons, Monopoles, and Related Topics, E. Recami, ed. (North- Holland, Amsterdam, 1978)。 无论如何，快子不是完全不可见的。不妨设想在某些奇异的核反应中 可能产生快子，如果它们带电，就可以通过探测当它们运动得越来越快时 产生的切伦科夫光而“看见”它们。这种实验已经做了一些，迄今为止还 未发现快子。中性的快子也可以在普通物质中散射，产生实验上可观测的 后果，然而这样的快子也未被发现。 用快子以超光速传输信息又如何呢？这违反狭义相对论。当考虑快子 的相对论性量子力学时这是值得注意的，它们是否“真的”比光速更快的 问题变得非常棘手。在这个框架内，快子是满足波动方程的波。为了简单 起见，我们不妨考虑零自旋的自由快子。取光速c = 1以保持公式简洁， 单个快子的波函数应该满足通常对于零自旋粒子的克莱因－高登方程。 (□ + m^2)φ = 0 上式中的□为达朗贝尔算符，在3＋1维下为 □ = (d/dt)^2 - (d/dx)^2 - (d/dy)^2 - (d/dz)^2 快子的不同之处在于m^2为负数，m为虚数。 为使数学再简单一点，仅考虑坐标x和t的1＋1维，于是 □ = (d/dt)^2 - (d/dx)^2 我们所讨论的一切都可以推广到真实世界3＋1维的情形。现在忽略 m，方程的解是如下形式的解的线性组合或叠加 φ(t,x) = exp(-iEt + ipx) 上式中E^2 - p^2 = m^2。当m^2为负数的时候，有两种本质上不同的 情形。一种是|p| 》= |E|，在这种情形下E为实数，我们得到类似于波的 解，并且波峰以速率|p|/|E| 》= 1向前运动，意即不慢于光速。另一种是 |p| 《 |E|，在这种情形下E为虚数，我们得到类似于波的解，并且随时间 而指数增大！ 我们可以随自己乐意而决定是否考虑第二类解。它们似乎是超乎常理 的，不过毕竟这整件事情就是超乎常理的。 1）如果认可第二类解，我们就可以用任何合理的初始数据——也即 t = 0时φ和它的时间导数的任何合理值，解出克莱因－高登方程（关于 “合理”的准确定义可以请教你们当地的数学家）。这是一个典型的波动 方程。对于典型的波动方程可以证明：若t = 0时在区间之外φ及 其时间导数为零，则任何时刻t在区间之外它们将为零。 换句话说，局域化的扰动不能以快于光速传播。这似乎与我们的快子运动 快于光速的想法相反，但这是一个数学事实，称为“单元传播速度”。 2）如果不认可第二类解，对于所有合理的初始数据我们都不能解出 克莱因－高登方程，除非它们的傅立叶变换在区间上为零。由 派利－维纳定理，有一个奇怪的结果：对于在区间之外为零的初始 数据解出方程变得不可能！换句话说，在开始的地方不再能将快子局限在 有边界的区域内，所以判定是否有1）中精确意义上的“单元传播速度” 变得不可能。当然，波峰exp(-iEt + ipx)以快于光速运动，但这些波在 开始的地方永远不是局域的。 总之底线是不可能利用快子以超光速在异地之间传输信息。它的实现 需要在局域化的快子场中以某种编码方式创建一条讯息，再以超光速传送 给一个预定接受者。但正如我们已经看到的，由于两个原因这不可能实现 ——因为局域化的快子扰动是亚光速的，而超光速的扰动又是非局域的。
解释一下这些算符的意思
在数学以及物理中， 拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或 Laplacian）是一个微分算子，通常写成 Δ 或 ；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用於波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛丁格方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果~~~~~~~~~~~量子力学中，哈密顿算符(Hamiltonian) H 为一个可观测量，对应于系统的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度(spectral measure)被分解，成为纯点(pure point)、绝对连续(absolutely continuous)、奇点(singular)三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者又对应到系统的束缚态(bound states)。绝对连续谱则对应到自由态(free states)。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。~~~~~~~~````达朗贝尔算子是拉普拉斯算子在闵可夫斯基时空中的形式，此算子符号为正方形的，以表示是在四维的闵可夫斯基时空中达朗贝尔算子一般记为，也可记为，这两者是完全相同的。达朗贝尔算子主要应用在电磁学、狭义相对论中，例如克莱因-高登方程（Klein-Gordon equation）中就有用到达朗贝尔算子。
薛定谔方程谁能推导一下
薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。就好像牛顿定律在经典力学的地位，薛定谔方程在量子力学里占有中心的地位。 薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。 薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。 薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。 目录 1 含时薛定谔方程 2 不含时薛定谔方程 3 历史背景与发展 4 含时薛定谔方程导引 4.1 启发式导引 4.1.1 假设 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数 4.2 薛定谔的导引 5 特性 5.1 线性方程 5.1.1 证明 5.2 实值的本征态 5.3 么正性 5.3.1 证明 5.4 完备基底 6 相对论性薛定谔方程 7 解析方法 8 实例 8.1 自由粒子 8.2 一维谐振子 8.3 球对称位势 8.3.1 角部分解答 8.3.2 径向部分解答 9 参阅 10 参考文献 11 外部链接 含时薛定谔方程 虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。 类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达， 。 其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想 的函数形式为 ； 其中， 是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为 。 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为一种粒子，称为光子；也就是说，光波具有波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比；也就是说，光波具有波粒二象性。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和 Lester Germer 将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg’s law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库伦位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了 的行为，但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了 的物理意义。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。 含时薛定谔方程导引 启发式导引 含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设： 假设 (1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和： ； 其中， 是动量， 是质量。 特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成对比： 其中， 是普朗克常数， 是角频率。 (3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关： ； 其中， 是波数。 用矢量表达， 。 波函数以复值平面波来表达波函数 1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示： 。 他想到 ， 因此 。 并且相同地由于 ， 故 。 因此得到 。 再由经典力学的公式，一个粒子的总能为 ，质量为 ，在势能 处移动： 。 薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程： 。 薛定谔的导引 思考一个粒子，运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程 ； 其中， 是哈密顿主函数。 由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分： ； 其中，不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数， 是能量。 代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 ； 哈密顿主函数随时间的全导数是 。 思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为 。 所以，在设定等值曲面的正负面后， 朝着法线方向移动的速度 是 。 这速度 是相速度，而不是粒子的移动速度 ： 。 我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数： ； 其中， 是常数， 是相依于位置的系数函数。 代入 的方程， 。 注意到 的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论 ；其中， 是约化普朗克常数， 是角频率。设定 ，粒子的波函数 变为 ； 其中， 。 代入波动方程， 。 经过一番运算，得到 。 注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程： 。 特性 线性方程 主条目：态叠加原理 薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若 与 是某薛定谔方程的解。设定 ， 其中， 与 是任何常数。 则 也是一个解。 证明 根据不含时薛定谔方程 (1) ， ， 。 线性组合这两个方程的解， 。 所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。 实值的本征态 不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数 与 都是某不含时薛定谔方程的，能量为 的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为 的解答。 。 对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数 也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。 转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答 。其替代波函数是另外一个解答： 。 这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。 么正性 在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为么正性。薛定谔方程能够自动地维持么正性。用波函数表达， 。(3) 为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数 尚未归一化。由于薛定谔方程为线性方程， 与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。设定 ；其中， 是归一常数，使得 。 这样，新波函数 还是这个薛定谔方程的解答，而且， 已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数 相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足么正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持么正性。 证明 总概率随时间的微分表达为 。(4) 思考含时薛定谔方程， 。 其复共轭是 。 所以， 代入方程 (4) ， 在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以， 。 薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。 完备基底 能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。 相对论性薛定谔方程 主条目：相对论量子力学 薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式， ； 其中， 是光速， 是静止质量。 直接地用这关系式来推广薛定谔方程： 。 或者，稍加编排， ； 其中， ， 是达朗贝尔算符。 这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守 ； 其中， 是角频率，可以是正值或负值。 对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。 保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程： ， 其中，是自旋-½ 粒子的质量， 与 分别是空间和时间的坐标。 狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。 假若，一个粒子被局限于一个长度为 的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性 。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为 。当盒子的长度 等于康普顿波长 时，能量的不确定性等于粒子的质能 。当盒子的长度 小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。 解析方法 一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法： 量子微扰理论 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。 变分原理 (variational principle) 。 量子蒙特·卡罗方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。 密度泛函理论。 WKB 近似 (WKB approximation) 与半经典扩展。 对于某些特殊的状况，可以使用特别方法： 有解析解量子系统列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。 哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。 离散 delta 位势方法 ({{|lang|en|Discrete delta-potential method}}) 。 实例 自由粒子 主条目：自由粒子 当位势为 0 时，薛定谔方程为 。 解答是一个平面波： ， 其中， 是波矢量， 是角频率。 代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系： 。 由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数 必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。 在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。： ； 其中，积分的区域是所有的 -空间。 为了简化计算，只思考一维空间， ； 其中，因子 是由傅立叶转换的常规而设定，振幅 是线性叠加的系数函数。 逆反过来，系数函数可以表达为 ； 其中， 是波函数在时间 的函数形式。 所以，知道波函数在时间 的形式 ，借由傅立叶转换，我们可以推演出波函数在任何时间的形式 。 一维谐振子 主条目：量子谐振子 能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 (） 。横轴表示位置 。此图未经归一化。在一维谐振子问题中，一个质量为 的粒子，受到一位势 。此粒子的哈密顿算符 为 ； 其中， 为位置。 为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程： 。 我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解： 。 最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数为厄米多项式 (Hermite polynomials) ： 。 相应的能阶为 。 值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是 ，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。 球对称位势 主条目：球对称位势 一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为 ； 其中， 是普朗克常数， 是粒子的质量， 是粒子的波函数， 是位势， 是径向距离， 是能量。 采用球坐标 ，将拉普拉斯算子 展开： 。 满足薛定谔方程的本征函数 的形式为： ， 其中， ， ， ，都是函数。 与 时常会合并为一个函数，称为球谐函数， 。这样，本征函数 的形式变为： 。 角部分解答 相依于天顶角 和方位角 的球谐函数 ，满足角部分方程 ； 其中，非负整数 是角动量的角量子数。 （满足 ）是角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 与 给予不同的球谐函数解答 ： ； 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为 ； 而 是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为 。 径向部分解答 将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程： 。 设定函数 。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到 。 径向方程变为 ； 其中，有效位势 。 这正是函数为 ，有效位势为 的薛定谔方程。径向距离 的定义域是从 到 。新加入有效位势的项目，称为离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。 参阅
