本文目录
- 一元五次方程求根公式的早期研究
- 【抽象代数】伽罗瓦理论简介
- 近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域
- 伽罗瓦理论是正确的吗
- 伽罗瓦怎样证明2开立方作图不能
- 伽罗瓦理论的思想建立
- 一般群论书的伽罗瓦理论部分经常提到 x^n - 1 = 0 有代数解（不是三角解），但好像没证明，到底如何证明的
- 群论解决问题的实例有哪些
一元五次方程求根公式的早期研究
16 世纪，在意大利数学家塔塔利亚（Tartaglia）、卡尔达诺(Cardano)、费拉利(Ferrari)等人的努力下，用根式求解三次方程与四次方程的方法终获解决。这样，利用代数符号，无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求出它的一般解。于是，数学家们开始寻找一元五次方程的公式解法。虽屡遭挫折，但人们相信，五次方程的解就隐藏在某个角落。在随后三百多年，破解五次方程成了数学中最迷人的挑战之一，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石。可是毫无例外，他们都失败了。五次及以上方程的根式解虽然没有找到，人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的是法国数学家拉格朗日（Lagrange）。1770 年，拉格朗日发表了《关于代数方程解的思考》，他讨论了人们所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次的方程是不可能发生的。拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而，经过顽强的努力之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好像是在向人类的智慧挑战”。一元五次方程不能用根式求解的第一个证明出现在意大利人鲁菲尼严格的证明：如果方程的次数 n≥5,并且系数a1,a2,…… ,an 看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就被阿贝尔“否定”的解决了。阿贝尔证明了一般一元五次方程不能用根式解，也举例说有的方程能用根式解。问题是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底怎么来判断呢？阿贝尔没有给出证明。换句话说，阿贝尔没有完全解决一元五次方程的求根问题，遗憾的是，对于什么样的特殊方程能用根式解，他还未及得到的答案就因病去世了。一元五次方程的可解性理论，19 世纪法国天才数学家伽罗瓦(Galois)完成1830 年初，伽罗瓦向法国科学院提交一篇关于五次方程的论文，去竞争一项数学大奖。虽然论文中没有提供五次方程的解法，但却展示了伽罗瓦的数学天分，就连柯西（Cauchy）都认为很可能得奖。这篇文章交给科学院秘书傅立叶(Fourier)评审，不料傅立叶未及写出评审报告就去世了，此文下落不明。伽罗瓦也因参加学生闹事，被学校开除。不过，伽罗瓦仍然对数学倾注了极大的热情，他写出了将成为他最著名的论文“关于方程可用根式求解的条件”，于 1831 年 1月送交科学院。这是伽罗瓦希望被数学界承认的最后机会，但是三、四个月过了，仍然杳无音讯。这位受挫的数学天才参加了国民卫队，去保卫共和。结果两次被捕，第一次无罪释放，而第二次被判了六个月的监禁。获得假释不久，他陷入了与一位女人有关的恋情，于 1832 年 5 月 30 日清晨决斗身亡—他才 21 岁。法国数学家刘维尔（Liouville）阅读了伽罗瓦的论文后，惊喜地发现伽罗瓦在论文中给出了代数方程可解性的最终判定，而且独创了一个崭新的数学概念：群。伽罗瓦工作的核心部分是可解性判别准则：当且仅当多项式方程的群是可解群（伽罗瓦群），这个方程可用代数的方法求解。这一准则可用以下过程来简单描述。第一步，确定方程的伽罗瓦群。多项式方程的 n 个根构成一个置换群，也叫做伽罗瓦群 G。第二步，选取伽罗瓦群 G 的极大正规子群 G1，然后再选取 G1 的极大正规子群 G2，如此下去，最后一个必然是{I}。(注：子群 K 与母群 G 中任意元素可交 换，K 叫做正规子群)第三步，构造合成指数列。设 G, G1, G2,…., Gr ,I 的各个群的阶数（即群的 元素个数）分别为：g, g1, g2 , …., gr ,1；那末每个正规子群在它前面子群中的指定理，有限群 G 的子群的阶是 G 的阶的因子，故合成指数列一定是整数。）第四步, 伽罗瓦可解性理论：一个可解群是一个群，它的合成指数列中各个数全为素数。据此可以列出 2 次到 7 次方程的合成指数列： 方程的次数 合成指数列 2 2 3 2, 3 4 2, 3, 2, 2 5 2, 60 6 2, 36 7 2, 2520 由上表格可以看出，当方程的次数大于 4 时，它的合成指数列中的项不全为素数。那么根据伽罗瓦可解性定理，该方程所对应的伽罗瓦群不是可解群，因而由伽罗瓦可解性判定准则可知五次及以上方程没有根式解。“五次方程”引出了华罗庚1926 年 7 卷 10 期的上海《学艺》杂志上发表了一篇苏家驹的论文《代数的五次方程式之解法》，前文已述，这个问题已经由阿贝尔、伽罗瓦证明是不可解的，所以“苏文”与阿贝尔、伽罗瓦的理论相矛盾，必定是有错。华罗庚在阅读了苏家驹的文章之后，写信给《学艺》杂志指出“苏文”的错误。而《学艺》在1929 年 5 月出版的 9 卷 7 期上只刊载了一则简短的“更正声明”，承认“苏文”有误。华罗庚对《学艺》这种半遮半掩的做法并不满意，他把质疑苏家驹论点的文章寄呈《科学》部。不久，1930 年 12 月出版的《科学》15 卷 2 期上以“来件”的方式发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》。华罗庚在论文的开头写道：五次方程经 Abel,Galois 之证明后，一般算学者均认为不可以代数解矣，而《学艺》7卷 10 号载有苏君之《代数的五次方程式之解法》一文，罗欣读之而研究之，于去年冬也仿得‘代数的六次方程式之解法’矣，罗对此欣喜异常，意为果能成立则于算学史中亦可占一席之地，惟自思若不将 Abel 言论驳倒，终不能完全此种理论，故罗沉思于 Abel 之论中，阅一月，见其条理精严，无懈可击，后经本社员之暗示，遂从事于苏君解法确否之工作，与6 月中遂得其不能成立之理由。罗安敢自秘，特公之于世，尙祈示正焉。这段简短文字透露出两个重要信息，一是华罗庚曾经撰写了一篇“代数的六次方程式之解法”，但在精心研读阿贝尔的论文后，确信其“条理精严，无懈可击”；二是，在杂志社的启发下，转向查考苏文，进而发现苏文中的“破绽”。有意思的是，华罗庚所说“本社员”是《学艺》社的？还是“《科学》社的？由于华文刊登在《科学》，这段话又在文章的“篇首”，所以这个“本社”应当是《科学》杂志部。其实，华罗庚与《科学》杂志已有姻缘。华罗庚的第一篇论文《Sturm 氏定理的研究》，就发表 1929 年 12 月出版的《科学》14 卷 14 期上。《科学》部重视文章的质量，并不在乎作者的身份。华罗庚此文章只是对求代数方程实根数的 Sturm 定理做了简化，虽算不上重要发现，但有新意，还是被部接受了。因此，正是《科学》不拘一格，以质选文，才使一位自学青年展露头角。熊庆来教授正是读了《科学》杂志这篇文章，发现了华罗庚。
【抽象代数】伽罗瓦理论简介
在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包 中。
即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为 域的嵌入 ，不同的嵌入之间称为 共轭域 。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。
以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合 的分裂域 ，假设 同构于另一个分裂域 且同构映射为 。因为任何 的系数在 F 中，所以总有 ，所以 只是 的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说 是 的自同构。
只有自同构共轭的域叫 自共轭域 ，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫 伽罗瓦群 ，一般记作 ，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是 在 上的分裂域， 也叫多项式 的伽罗瓦群，记作 或 。
• 证明 只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。
F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式 ，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从 开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从 生成的扩域（a′为 的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知 ，故 在 中是分裂的。对任意不可约多项式 ，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫 正规扩域 （要注意，若 在 没有根，并不意味 在 中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。 （1）E是F的正规扩张； （2）E是F中某个多项式集合的分裂域； （3）E是F-自共轭域。
特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为 正规闭包 ，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。
前面提到过，F-自同构群是自同构群 的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群 ，另一种则是由 的子群 确定一个子域 ，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。
先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将 简写为 。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。
为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群 ，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有 ，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域 的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数 不大于 最小多项式 的次数 ，相等的条件是 没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求 的根都在 E 中。
总嵌入的个数自然是 ，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。
现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察 与 的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到 。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了 （这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。
设 ，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程 在F上总有非零解，现在我们就来证明 时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是 ，原方程等价于方程组 在F上有解。由于 ，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。
将任意 作用在方程组上得 ，由于 只是 的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故 也是是原方程组的解。因为 非零，可设 ，则 也是方程组的解。若 都成立，我们的结论得证。否则设 ，这就是说存在 使得 。由于 也是方程组的根，与 相减便得另一个非零解 ，其中非零的元素个数比 少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。 • K为F的扩域， ，求证： 。
有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域 ，反之G又对应到它的固定子域 。现在来比较 和 ，根据公式和分别有 和 ，而公式说明 ，所以有 ，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。
若设 的所有中间域 组成集合 ，容易证明 E 对 中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合 ，则以上结论则建立了从 到 的单射 ，它满足公式（8）。反之对任何 ，首先有 ，而由公式（6）得 ，所以有 。这就说明了 是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。
根据 的定义，容易有公式（9）成立，其中 表示生成群（域）。另外，由于 , ，则 （后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何 ， 在映射 中的原像为 。所以 为正规子群的等价条件是 ，即 为正规扩域，再由 显然是分离扩域，故 为正规子群的等价条件是 为伽罗瓦扩域。
进一步地，设 ，构造同态映射 ，使得 满足 ，显然同态核为 ，从而 H 与 同构（公式（10））。
正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果 互质且正 边形都可以作出，那么正 边形也可以作出。根据算术基本定理， ，而正 边形很容易作出，所以只需研究正 边形的作图。
高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正 边形，其实就是作出 的根 （式（11））。显然 是 分裂域的生成元，即 。上一节的作图理论中我们知道， 可被作图的充要条件是： 。
由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有 。E 的 Q-自同构 由 唯一确定， 只能取 ，其中 。由初等数论的知识， 可取 个数，所以 。首先有 ，再由初等数论的知识，必须有 ，且 为素数。
满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说 边形可作图的充要条件是： 且 为费马素数。那么 边形可作图的条件就是式子（13），其中 为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。
多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换 消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将 参数化 。由于 可以连续变化，再添加限制条件 ，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。
对于四次方程同样使用 消除三次项，然后引入参数 并配方（式（16））。找到合适的 使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。
当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设 ，代数闭包中 的任一根记作 ，单扩域 称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？
我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程 ，它的根称为 次单位根 。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为 次 本原根 。其实这个结论在一般域中也成立，因为 ，所以我们只需找到 次本原根即可。容易证明 的根就是本原根，这样 的分裂域其实就是 。
伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为 阿贝尔扩张 。对于 的根 ，易知 也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定 ，故 的分裂域为 。 伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为 循环扩张 。
把目光专注在根式扩张 上，以上结论说明，当 时 为 p 阶循环群。反之若 为 阶循环群 ，取任一 ，记 ，构造如下 （式（18））。把它们看成是 的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个 。另外可以验证 ，故由伽罗瓦理论知 ，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若 ，则根式扩张等价于 阶循环扩张。
现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链 。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数 的最小公倍数为 且 次本原根为 ，将链表中的每个扩域进行单扩张 ，显然 次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故 为可解群，所以子群 也是可解群。
反之若 是可解群，取 次本原根 ，由前面的习题知 是 的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在 到 伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶 都是 的因子，故 阶本原根在 中，所以每个扩张为根式扩张。由于 也是根式扩张，故 可由 根式扩张而来，所以方程根式可解。
这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式 （式（20）），其中 是不定元。方程的不变域是 ，而我们需要判断 在 的伽罗瓦群是否可解。由于 可由 用基本不等式表示，故分裂域 。
但由于 的值和相互关系是从 得来， 的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望 是独立的不变元，为此我们用不定元 建立多项式 （式（21）），其系数 为 的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为 ，扩域为 。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于 （ 为不定元），所以 有 个不同的根。再由于 时， 不是可解群，故 不能公式求解。
到这里关于抽象代数的知识，我们就介绍到这儿了。关于更加高阶的代数学知识就不涉猎了。抽象代数是近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的 抽象思维 和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。
近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域
设 为伽罗瓦扩张, 为它的伽罗瓦群, 为 的子群 令 ,即 是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有 例： 的6个元中, 是恒等映射 它对应的固定子域 故 , 是2阶子群 易知 类似地, 也都是2阶子群故 易知 故 是一个3阶循环群,且 方程 的3个根为 方程的伽罗瓦群 是这3个根的置换群 若用循环置换表示,并1代表 ,2代表 ,3代表 ,则 , , , , 即 中的偶置换群 易知 的固定子域为 定理：若 是伽罗瓦扩张, ,则 证明：定理：设 为伽罗瓦扩张, , ,则 和 互为逆映射,给出了 和 之间的反序一一对应 注：反序指：若 ,则 ,若 ,则 证明：例： 1.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 是由 相对 的自同构 生成的n阶循环群 其中 G的任一子群 ,r为n的因子 ,故 当且仅当 ,即子群 对应的固定子域是 2.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 g为模p的原根, 是由相对 的自同构 生成的p-1阶循环群G的任一子群 ,其中e是p-1的因子 推论：设 , ,则 , 其中 为由 和 生成的G的子群, 表示域 生成的子域 证明：
伽罗瓦理论是正确的吗
是的，伽罗瓦理论是用已知的数学逻辑公理、规则，得出的推论。。。。也就是说：伽罗瓦理论完全符合逻辑，是正确的。。。。。。。。
伽罗瓦怎样证明2开立方作图不能
通过群论的方法证明。伽罗瓦证明二十次方程的方法是建立在群论基础上的，他将单个代数方程的根的集合称为一个域，并称操纵该域的置换为一个群。通过研究群的性质，发现对于一个代数方程必须满足一定条件才能用有理数求根公式求解，而这个条件往往只有在特定的情况下才成立。除了群论方法外，还有一些几何方法可以证明2开立方作图不可解，如利用欧拉定理和费马大定理等，这些方法更加繁琐，群论方法更具有普适性，能够应用于更广泛的代数问题。
伽罗瓦理论的思想建立
在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
一般群论书的伽罗瓦理论部分经常提到 x^n - 1 = 0 有代数解（不是三角解），但好像没证明，到底如何证明的
我不知道你所说的"代数解"和"三角解"的精确定义是什么,请问你的问题是不是 :令 K 是任意的域,那么对于每一个正整数 n , (K 的素域上的) 多项式 X^n - 1 在 K 的某个扩域 K’ 上分裂 ( 即, n 次单位根都在 K’ 中 ) .如果是这个问题的话,答案应该是 "任意一个多项式的分裂域( splitting field )的存在性". 即使是一般的多项式的情况, 证明也很容易.(参考)证明了K的代数闭包的存在性后,可以对于 多项式环 K 的任意一个(不含零的)子集 S 定义 它在域 K 上的分裂域. ------------------------------------------------------------------------------------------明白了,确实N.H.Abel最早证明5次方程的情况时,用的就是"algebraic solution".不过现在好像一般叫做"可用根式解"(solvable by radicals).这里多项式 f(X) 可用根式解的定义中,允许开 n 次方根吧?所以是不是"根据定义显然"呢? 仅供参考. 我只学了一点基础的域论,关于方程的根式解问题不很了解. 另外,如果你一定要一个证明的话,不知下面这个是否可以.定理(Galois)----令 F 为特征零域, K 是 F 上的多项式 f(X) 在 F 上的一个分裂域. 那么: f 可用根式解的一个充要条件是galois群 Gal(K/F) 是可解群. 当 F 是特征p域时,适当修改"根式扩张( radical extension)" 的定义,则与上面定理本质相同的事实仍然成立.定理(关于分圆扩张的)-----设 n 是一个正整数,并且不被域 F 的特征整除 . K 是多项式 X^n -1 在 F 上的一个分裂域. 则 K 可以通过在 F 上添加一个 n 次本原单位根 w 得到: K = F (w) . 此时 K/F 是 galois扩张, 群 Gal(K/F) 同构于 ( 环 Z/nZ 的可逆元乘法群 ) U(Z/nZ) 的某个子群, 从而是abel群.最后,abel群当然是可解的.
群论解决问题的实例有哪些
群论虽然一般用于数学学习当中，但在我们日常的学习生活中，其实有很多问题都可以用群论来解决问题。
就像我们生活中非常常见的魔方，大多数普通人在玩的时候都不会追求什么算法技巧之类的，完全凭感觉和多尝试，这也就是导致了我们很多人玩魔方非常没有效率，要花很长时间才能还原一个被打乱的魔方。高手跟我们就大有不同了，其中还包括计算机解魔方，在这过程当中就会用到群论中的降群，可以用群论计算出魔方的总共有多少组合方式。解三阶魔方用得尤其得多，非常的快速。
在物理当中，群论的作用也非常的大。物理当中，量子力学是非常重要的一部分，而群论正是量子力学的基础。可以说没有群论，量子力学就无从讨论。具体可以解决的问题列举如下，比如哈密顿算符的对称性，还有距阵元定理和选择定则等等。这些都是群论给量子力学奠定的各种基础。
当然，群论主要还是用于解决数学当中的问题。群论是数学当中不可缺少的一个分支，它主要是解决代数方程式求解的问题。这其中包括矢量空间、函数空间、正规函数、正交理论等等。总之数学当中高次方程的解决，是离不开群论的。
总之，群论可以用于解决的问题是非常的多的。
