本文目录
- 有限维Hilbert空间 是什么呢
- 希尔伯特空间的定义
- 希尔伯特空间中的1矢量最有意义的是什么
- Banach空间与Hilbert空间的关系
- 在希尔伯特空间中,x的范数可以趋于无穷大吗
- 希尔伯特内积怎么算
- 距离空间,线性空间,赋范线性空间,Banach空间,内积空间,Hilbert空间的内在关系
- 什么是希尔伯特空间和笛卡尔空间
- 内积和模长的关系
- 希尔伯特空间的相关换算
有限维Hilbert空间 是什么呢
Hilbert空间就是定义了内积的空间，其元素没有任何限制，只要在元素间定义了内积就行 有限维Hilbert空间的特例：通常的几何空间，多项式空间等等 向量空间指的是线性空间，也就是空间中的元素是满足线性关系的，线性空间的特点就是里面有一组基，可以用来表示整个空间。可以证明，只要是定义了内积，那么元素间就满足了某种线性关系，因此Hilbert空间也可以定义为在线性空间中定义了内积的空间。因此Hilbert空间是一种特殊的线性空间
希尔伯特空间的定义
希尔伯特空间（英语：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一个带有内积的完备向量空间。
希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实数的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。
与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学和量子力学的关键性概念之一。
希尔伯特空间中的1矢量最有意义的是什么
希尔伯特空间的数学概念以大卫希尔伯特的名字命名，概括了欧几里得空间的概念。它将向量代数和微积分的方法从二维欧几里得平面和三维空间扩展到具有任意有限或无限维数的空间。希尔伯特空间是一个带有内积的向量空间，这是一种允许定义长度和角度的操作。此外，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制以允许使用微积分技术。
希尔伯特空间在数学和物理学中自然而频繁地出现，通常作为无限维函数空间。最早的希尔伯特空间是在 20 世纪头十年由大卫希尔伯特、艾哈德施密特和弗里吉斯瑞兹从这个角度研究的。它们是偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和热传递的应用）和遍历理论（构成热力学的数学基础）理论中不可或缺的工具。约翰·冯·诺依曼 (John von Neumann) 创造了术语希尔伯特空间 (Hilbert space) 来表示许多这些不同应用背后的抽象概念。希尔伯特空间方法的成功为泛函分析开创了一个硕果累累的时代。除了经典的欧几里得空间，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索博列夫空间和全纯函数的哈代空间。
几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要作用。勾股定理和平行四边形定律的精确类似物在希尔伯特空间中成立。在更深层次上，垂直投影到子空间（类似于“降低三角形的高度”）在优化问题和理论的其他方面起着重要作用。
希尔伯特空间的元素可以由其相对于一组坐标轴（正交基）的坐标唯一指定，类似于平面中的笛卡尔坐标。当这组轴是可数无穷大时，希尔伯特空间也可以有效地被认为是可平方和的无穷序列空间。后者空间通常在较早的文献中称为希尔伯特空间。希尔伯特空间上的线性算子同样是相当具体的对象：在良好的情况下，它们只是在相互垂直的方向上通过不同因子拉伸空间的变换，在某种意义上通过研究它们的频谱变得精确。
Banach空间与Hilbert空间的关系
Hilbert空间是Banach空间的一种,是带内积的. Hilbert空间给出的是内积,这个内积决定了一个范数,即：x的范数定义为x和自身的内积.这样Hilbert空间自然成为Banach空间. 容易说明,由内积所定义的范数满足平行四边形等式,即||a+b||+||a-b|| = 2 (||a|| +||b||).所以不满足平行四边形等式的范数所给出的Banach空间无法成为Hilbert空间.
在希尔伯特空间中,x的范数可以趋于无穷大吗
在希尔伯特空间中，任何向量的范数都必须是有限的，因此 x 的范数不能趋于无穷大。范数是一个正定函数，它将一个向量映射为一个非负的实数。在希尔伯特空间中，一个向量 x 的范数 ||x||定义为：||x||= sqrt（《x，x》）其中，《x，x》 表示 x 与自己的内积因为内积是一个满足线性性、对称性和正定性的函数，因此内积的值必须是有限的。也就是说，对于任意的向量 x，《x，x》 都必须是有限的。因此，x 的范数也必须是有限的。在希尔伯特空间中，如果一个向量的范数趋于无穷大，那么这个向量就不再属于这个空间。因此，希尔伯特空间中的范数必须是有限的，不能趋于无穷大。
希尔伯特内积怎么算
product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
距离空间,线性空间,赋范线性空间,Banach空间,内积空间,Hilbert空间的内在关系
4.1 联系如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间。内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即线性赋范空间，完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，线性赋范空间相当于定义了长度的空间，所有的线性赋范空间都是距离空间。以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。4.2 区别在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间。线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是：范数‖.‖对于一切属于X的x，y，满足‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2(3-3)上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式。
什么是希尔伯特空间和笛卡尔空间
希尔伯特空间Hilbert space完备的内积空间，n维欧几里得空间的推广。又称无穷维欧化空间。欧几里得空间Rn最突出的特点是向量的内积，两个向量x＝（x1，x2…，xn）∈Rn，y＝（y1，y2，…，yn）由内积可导出两个向量的互相垂直成正交：x与y互相垂直（x，y）＝0，记作x⊥y，这与三维欧几里得空间中向量相互垂直的几何概念一致，有了正交概念就可进而引入正交投影、正交基等一系列概念，希尔伯特空间就是有限维内积空间向无限维线性空间的推广。R3中基本概念和研究方法也被相应地拓广到希尔伯特空间中，希尔伯特空间是泛涵分析研究的基本对象之一，并且成为量子力学、积分方程、正交级数理论等方面研究问题的重要工具 ，设 l2＝(x1，x2…xn，…) ：每一xn为实数 ( 或复数），对于x＝(x1，x2…，xn，…)、y＝(y1，y2，…，yn，…)∈l2， "a∈K，规定x＋y＝（x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn ，…），ax＝（ax1，ax2，…，axn，…），则l2为一线性空间，规定内积，则l2成为一个希尔伯特空间。
内积和模长的关系
内积和模长的关系：这两向量是一面积为一的平行四边形的两邻边（也可以说是面积为1/2的三角形的两边）。
要知道向量的内积也就是点积，输出的是一个数（标量），而不是一个向量（矢量），它就是用来处理两个向量的夹角这一问题的，而这又牵扯到线性代数和多维空间的几何知识，拿二维空间也就是平面来说，两个向量相乘（列向量）就是将其中一个向量转为线性变换。
完备的内积空间
称为希尔伯特空间，希尔伯特空间H上连续线性泛函的全体记为H，称H为H的共轭空间。H的共轭空间H就是H本身，事实上，设f∈H，则存在惟一向量y∈H使得对所有x∈H都成立着f（x）=（x，y），且‖f‖=‖y‖（里斯定理），反之，对每个y∈H，fy（x）=（x，y）确定了H上一个连续线性泛函fy∈H。做H到H的映射C如下：C：y→fy（y∈H）。
希尔伯特空间的相关换算
n维欧几里得空间的推广，可视为“无限维的欧几里得空间”，是泛函分析的重要研究对象之一。在三维欧几里得空间中，任何两个向量之间规定了一个内积，它是建立三维欧几里得几何学的基础。有了内积，就有向量的长度、两个向量的交角和向量到直线或平面上的投影等等。这些普通而重要的几何概念及相应的研究方法，不仅被推广到n维空间，而且在许多不同的领域，例如积分方程、数学物理、三角级数或更一般的正交级数等理论中，被推广到由函数构成的无限维空间上去，成为研究有关问题的有力工具。第一个具体的希尔伯特空间最早是由D.希尔伯特在研究积分方程时首先提出的。他在平方可积的无穷实数列{xn}全体所组成的空间l中规定了内积，把空间l看作欧几里得空间向无限维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及其本征展开的问题。不久，人们就建立了一般的希尔伯特空间理论，到20世纪30年代已取得了丰富的成果。希尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一，它已经被广泛地应用于数学和物理的各个分支，如积分方程、微分方程、过程、函数论、调和分析、数学物理及量子物理学等等。关于希尔伯特空间及其上的算子理论仍然是泛函分析的重要课题之一。内积空间和希尔伯特空间设H是实数域或复数域C上的线性空间，如果对于H中任何两个向量x和y都对应着一个数（x,y）∈C，并且满足下列条件：①正定性，对一切x∈H，（x,x）≥0，而且（x,x)=0当且仅当x=0；②线性，对x，y，z∈H和α，β∈C，成立（αx+βy，z)=α（x,z)+β(y,z）；③（共轭）对称性，对x，y∈H成立（x,y）=(y,x)（实数域）或(x,y)=(y,x)的共轭（复数域）；则称（x,y）为H中x,y的一个内积。定义了内积的空间H称为内积空间。在内积空间H中定义函数||x||=《x,x》的开方为x的范数（‖x‖即x的“长度”），这时，H成为一个赋范空间。如果作为赋范空间，H是完备的（见巴拿赫空间），就称H为希尔伯特空间。作为希尔伯特空间的例子，除了欧几里得空间和l空间以外，还有勒贝格平方可积函数空间 L^2（其中内积规定为（f,g）=f(t)g(t)(实数域)或f(t)乘以g(t)的共轭（复数域）在(α，b）区间的积分，而α，b也可为无限大）。在数学物理中越来越多地使用各种类型的希尔伯特空间。平行四边形公式和柯西-施瓦茨不等式在内积空间中，由内积导出的范数必满足类似于平面几何学中的平行四边形公式，即对H中任何x、y，||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)；反之，一个赋范线性空间H，若它的范数满足上述平行四边形公式，则这个范数必是由定义在H上的某个内积导出的范数。内积还有重要的柯西-施瓦茨不等式：|(x,y)|《=||x||*||y|| 。正交与勾股定理在希尔伯特空间H中，如果x，y满足（x,y)=0，就称x和y正交（或直交），记为x⊥y。当x⊥y时，成立勾股定理：||x+y||^2=||x||^2+||y||^2。如果x和H的子集M中任何元都正交，就称x和M正交，记为x⊥M。与M正交的所有元素的集合记为M寑。投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集，则对H中每个向量x，必存在M中惟一的y，使得||x-y||取到y在M中变化时的最小值。这个性质称为变分定理。特别，当M是H的闭线性子空间时，z=x-y必与M正交，即对于闭线性子空间M，分解x=y+z不仅惟一，而且z⊥y。这就是投影定理。其中，y称为x在M中的投影（分量）。因为x在M上的投影y是达到极小值的惟一解，所以这个结果不仅在理论研究中，而且在很多应用性科学，如近似理论（包括有限元方法）、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。正交系设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量，如果其中任何两个向量都正交，即当k≠j时，（ek，ej)=0，则称{ek}是一正交系；如果其中每个向量的范数又都是1，即对一切k，（ek,ek)=1，则称{ek}是规范正交系。对于希尔伯特空间H的规范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H，就称{ek}为H的完备规范正交系。设{ek}是规范正交系，则H中任一向量 x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一维子空间上的投影，就是Σ（x,ek)ek；而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是H。显然有||x||^2《=Σ|(x,ek)|^2，即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度，它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备规范正交系，那么成立着x=Σ(x,ek)ek（傅里叶展式），||x||^2=Σ|(x,ek)|^2（帕舍伐尔等式）。傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。里斯表示定理希尔伯特空间H上每个连续线性泛函F，对应于惟一的y∈H，使F(x)=(x,y），并且||F||=||y||，这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此，希尔伯特空间的共轭空间与自身（保持范数不变地）同构（实际上是一种共轭线性同构），即H=H*。这个结果在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。
